Приближенные вычисления

Если функция задана некоторой алгебраической формулой (например, f(x)=x+x²sinx), то приближенным значением функции в точке x₀ часто называется значение функции в некоторой, близкой к x₀, точке x₀+Δx, вычисление которого значительно проще, чем вычисление значения f(x₀)

Но в природе все обстоит наоборот. Например, положение свободного падающего тела в момент времени t рассчитывается по формуле s=-gt²/2, здесь s – расстояние в момент времени t от точки начала падения. Однако сама формула (не говоря уж о значении величины g), - это лишь приближенная (хоть и красивая) связь между временем и расстоянием, которое падающее тело проходит за это время. Поправка, получающаяся из формулы сложения скоростей в теории относительности, настолько мала, что никак не влияет на достоверность полученных результатов. Кроме того, и сама релятивистская формула – тоже, возможно, лишь приближенный вариант связи физических, реальных величин.

Математика – это лишь приближенная модель реального мира. Эффективность применения математических результатов в современной технике, физике и других областей естествознания позволяет надеяться (или, по крайней мере, мечтать), что с развитием, усовершенствованием и уточнением (на основе экспериментальных данных) формул математические модели будут все ближе и ближе приближаться по точности к реальному миру.

Надежды на это связаны с тем, что элементы математики встречаются в природе. Солнце, Луна и многие другие космические образования имеют форму шара (пусть и не геометрически точного), то есть математического объекта с определенными свойствами оптимальности как решения некоей математической задачи. Да и числа Фибоначчи тоже являются математическим объектом.

Польза математики заключается в том, что она может дать представление о той части реального мира, которая недоступна или нецелесообразна для исследований. Например, не стоит к падающему телу каждый раз привязывать рулетку и секундомер, чтобы получить необходимые данные о положении тела в определенный момент времени. (Хотя как раз именно в таких исследованиях и родилась идея формулы свободного падения).

Или еще пример – изучение так называемых элементарных частиц. Для прямого исследования их свойств у человека нет возможностей, так как человек с помощью своих чувств не может «заглянуть» в микромир. И сегодняшние результаты о частицах – это сплошная математика, для которой исходными данными являются всего лишь проявления взаимодействия этих частиц с макромиром, - а не сами они.

Люди также не могут протянуть рулетку от Земли до Луны или Солнца, чтобы измерить расстояние, но математические расчеты могут дать представление об этих расстояниях, пусть и приближенно, но с удовлетворительной для некоторых нужд степенью точности.

Впрочем, математика может помочь познавать реальный мир лишь при условии непрерывности пространства и времени (и других физических объектов и процессов): когда абстрагирование (предельный переход) дают значение в точке. Например, в известной притче о слепых мудрецах, исследующих слона по частям, применение математического метода интегрирования может дать, действительно, представление о слоне. Точность, конечно, зависит от «показаний» мудрецов, их достоверности и достаточности. Но при увеличении плотности «показаний» результат будет все больше и больше приближаться к слону. Но опять же лишь в случае предположения о непрерывности мира. Ведь, мы можем все больше и больше уточнять результат о «слоне», хотя в самой точке значением может быть «заяц». Кстати, в таком случае (существовании точек разрыва мира) Ахиллес может никогда не догнать черепаху.

Непрерывности природы и происходящих в ней процессов пока вопрос открытый.